1 . 在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为．记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为．
(1)求，，，并猜想的表达式再用数学归纳法加以证明；
(2)设数列的前项和为，数列的前项和为，是否存在自然数，使得对一切，恒成立．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

2 . 设n是正整数，r为正有理数．
(1)求函数的最小值；
(2)证明：；
(3)设，记为不小于x的最小整数，例如，，．令，求的值．
（参考数据：，，，．）

3 . 已知数列中，，当时，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．

4 . 已知数列满足，，令，设数列前n项和为．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设正项数列满足，求证：．

5 . 已知数列的前项和为，且满足，当时，.
(1)计算：，；
(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和.

6 . 已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）

7 . 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，.
（1）若等差数列满足，求，的通项公式；
（2）若___________，求数列的前项和.
在①；②；③这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分.

8 . 已知等比数列的前项和为，，．数列的前项和为，且，．
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由．

9 . 已知，点在函数的图象上，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求及数列的通项公式；
（3）记，求数列的前项和，并证明：．

10 . 已知数列的前项和为，且，，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若数列满足且对任意恒成立，求实数的取值范围.