1 . 在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点．

   

(1)证明：平面．
(2)证明：．
(3)若二面角的正切值为，求三棱锥的体积．

2 . 如图，在三棱锥中，侧面是边长为4的等边三角形，底面为直角三角形，其中为直角顶点，.点为棱的中点，，，，分别是线段，，，上的动点，且四边形为平行四边形.设.

(1)设点在平面的射影，当二面角从0增加到的过程中，求线段扫过的区域的周长；
(2)若是以为底边的等腰三角形；
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）当为何值时，多面体的体积恰好为2.

4 . 如图1，在矩形 中，是线段上（包括端点）的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点 平面 .

   

(1)如图2，当时，点是线段上点的，平面 ，求 的值；
(2)如图2，若点 在平面 内的射影落在线段上.
①是否存在点，使得 平面 ，若存在，求的长；若不存在，请说明理由；
②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离.

5 . 如图，是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面底面ABC，且棱台DEFABC与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

(1)证明：为正四面体；
(2)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由.（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱）

6 . 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为 ，其中 为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面 ，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. ”已知在直四棱柱中，底面为菱形.. （角的运算均采用弧度制）
(1)若，求四棱柱在顶点处的离散曲率；
(2)若四棱柱在顶点处的离散曲率为，求与平面的夹角的正弦值；
(3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为与平面交于点，证明：.

7 . 如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，．

(1)求证：；

(2)求证：平面平面；
(3)求五面体的体积．

8 . 如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥.

(1)求线段的长度；
(2)求四棱锥的体积的最大值；
(3)当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值.

10 . 如图，在矩形中，是线段上的一动点，将沿着折起，使点A到达点的位置，满足点平面，且点在平面内的射影落在线段上．

   

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积的最大值；
(3)设二面角的平面角为，为虚数单位，为复数，当三棱锥的体积取得最大值时，求的大小