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解题方法
1 . 球面几何学是在球表面上的几何学,也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球,过球面上一点作两条大圆的弧,,它们构成的图形叫做球面角,记作(或),其值为二面角的大小,点称为球面角的顶点,大圆弧称为球面角的边.不在同一大圆上的三点,可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧,这三条劣弧组成的图形称为球面,这三条劣弧称为球面的边,三点称为球面的顶点;三个球面角称为球面的三个内角.
(1)球面的三条边长相等(称为等边球面三角形),若,求球面的内角和;
(2)类比二面角,我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角,记为.
其中点称为三面角的顶点,称为它的棱,称为它的面角. 若三面角的三个面角的余弦值分别为.
(ⅰ)求球面的三个内角的余弦值;
(ⅱ)求球面的面积.
已知球心为的单位球面上有不同在一个大圆上的三点.
(1)球面的三条边长相等(称为等边球面三角形),若,求球面的内角和;
(2)类比二面角,我们称从点出发的三条射线组成的图形为三面角,记为.
其中点称为三面角的顶点,称为它的棱,称为它的面角. 若三面角的三个面角的余弦值分别为.
(ⅰ)求球面的三个内角的余弦值;
(ⅱ)求球面的面积.
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解题方法
2 . 如图,在矩形ABCD中,,,M是AD的中点,将沿着直线BM翻折得到.记二面角的平面角为,当的值在区间范围内变化时,下列说法正确的有( )
A.存在,使得 |
B.存在,使得 |
C.若四棱锥的体积最大时,点B到平面的距离为 |
D.若直线与BC所成的角为,则 |
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2024-04-30更新
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461次组卷
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3卷引用:江苏省南京市南京师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
3 . 如图,四面体中,.
(1)求证:平面平面;
(2)若,
①若直线与平面所成角为30°,求的值;
②若平面为垂足,直线与平面的交点为.当三棱锥体积最大时,求的值.
(1)求证:平面平面;
(2)若,
①若直线与平面所成角为30°,求的值;
②若平面为垂足,直线与平面的交点为.当三棱锥体积最大时,求的值.
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2024-04-27更新
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542次组卷
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3卷引用:江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷
江苏省南京市五所高中学校合作联盟2023-2024学年高二下学期期中学情调研数学试卷(已下线)模块三 专题2 解答题分类练 专题3 空间向量线性运算(苏教版)江苏高二专题02立体几何与空间向量(第二部分)
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解题方法
4 . 如图,已知矩形中,,.点为线段上一动点(不与点重合),将沿向上翻折到,连接,.设,二面角的大小为,则下列说法正确的有( )
A.若,,则 |
B.若,则存在,使得平面 |
C.若,则直线与平面所成角的正切值的最大值为 |
D.点到平面的距离的最大值为,当且仅当且时取得该最大值 |
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2023-11-27更新
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386次组卷
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3卷引用:重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题
重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题重庆市第八中学校2023-2024学年度高二上学期检测六数学试题(已下线)第三章 折叠、旋转与展开 专题一 平面图形的翻折、旋转 微点8 平面图形的翻折、旋转综合训练
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解题方法
5 . 如图,四棱柱底面是边长为2的正方形,侧棱底面,且,P是线段上一点(包含端点),Q在四边形内运动(包含边界),则下列说法正确的是( )
A.该四棱柱能装下球的最大半径是1 |
B.点到直线的距离最小值是 |
C.若为中点,且,则Q的轨迹长度为 |
D.的最小值是3 |
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解题方法
6 . 如图①,在棱长为1的正方体中,E是棱上的一个动点.
(1)求证:三棱锥的体积是定值;
(2)是否存在点E,使得平面,若存在请找出点E的位置,若不存在,说明理由;
(3)定义:与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线,公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线段,是连接两条异面直线所有线段中的最短线段.
根据以上定义及性质解决如下问题:
如图②中,M为线段的中点,线段(不包括两个端点)上有一个动点N,过点、、作正方体的截面.
①判断截面的形状,并说明理由;
②当截面的面积取得最小值时,求点N的位置.
(1)求证:三棱锥的体积是定值;
(2)是否存在点E,使得平面,若存在请找出点E的位置,若不存在,说明理由;
(3)定义:与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线,公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线段,是连接两条异面直线所有线段中的最短线段.
根据以上定义及性质解决如下问题:
如图②中,M为线段的中点,线段(不包括两个端点)上有一个动点N,过点、、作正方体的截面.
①判断截面的形状,并说明理由;
②当截面的面积取得最小值时,求点N的位置.
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7 . 正多面体又称为柏拉图立体,是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形,每个顶点聚集的棱的条数都相等,这样的多面体就叫做正多面体.可以验证一共只有五种多面体.令(均为正整数),我们发现有时候某正多面体的所有顶点都可以和另一个正多面体的一些顶点重合,例如正面体的所有顶点可以与正面体的某些顶点重合,正面体的所有顶点可以与正面体的所有顶点重合,等等.
(1)当正面体的所有顶点可以与正面体的某些顶点重合时,求正面体的棱与正面体的面所成线面角的最大值;
(2)当正面体在棱长为的正面体内,且正面体的所有顶点均为正面体各面的中心时,求正面体某一面所在平面截正面体所得截面面积;
(3)已知正面体的每个面均为正五边形,正面体的每个面均为正三角形.考生可在以下2问中选做1问.
(第一问答对得2分,第二问满分8分,两题均作答,以第一问结果给分)
第一问:求棱长为的正面体的表面积;
第二问:求棱长为的正面体的体积.
(1)当正面体的所有顶点可以与正面体的某些顶点重合时,求正面体的棱与正面体的面所成线面角的最大值;
(2)当正面体在棱长为的正面体内,且正面体的所有顶点均为正面体各面的中心时,求正面体某一面所在平面截正面体所得截面面积;
(3)已知正面体的每个面均为正五边形,正面体的每个面均为正三角形.考生可在以下2问中选做1问.
(第一问答对得2分,第二问满分8分,两题均作答,以第一问结果给分)
第一问:求棱长为的正面体的表面积;
第二问:求棱长为的正面体的体积.
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2023-11-10更新
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497次组卷
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3卷引用:上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高二上学期期中数学试题重庆市乌江新高考协作体2024届高三上学期高考第一次联合调研抽测数学试题(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大核心考点)(讲义)
8 . 在四面体ABCD中,,,E,F,G分别是棱BC,AC,AD上的动点,且满足AB,CD均与面EFG平行,则( )
A.直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为 |
B.四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1 |
C.的面积的最大值为 |
D.四面体ABCD的内切球的表面积为 |
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2023-09-26更新
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495次组卷
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3卷引用:海南省海口市2023届高三下学期学生学科能力诊断数学试题
23-24高二上·湖北·开学考试
名校
解题方法
9 . 在四面体中(如图),平面平面,是等边三角形,,,M为的中点,N在侧面上(包含边界),若,则下列正确的是( )
A.若,则∥平面 | B.若,则 |
C.当最小时, | D.当最大时, |
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2023-08-26更新
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1305次组卷
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11卷引用:高二上学期期中考试选择题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)
(已下线)高二上学期期中考试选择题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)湖北省云学新高考联盟学校2023-2024学年高二上学期8月开学联考数学试题(已下线)高二上学期第一次月考选择题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)1.2 空间向量基本定理【第三练】(已下线)专题 01 空间基底及综合应用(3)(已下线)第1章 空间向量与立体几何单元测试能力卷-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册(已下线) 第1章 空间向量与立体几何单元测试能力卷-2023-2024学年高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册(已下线)专题01 空间向量与立体几何(5)(已下线)专题01 空间向量与立体几何(3)(已下线)专题 01 空间基底及综合应用(4)(已下线)专题2 用空间向量解决立体几何问题
名校
解题方法
10 . 在四棱锥中,底面ABCD是矩形,,,平面平面ABCD,点M在线段PC上运动(不含端点),则( )
A.存在点M使得 |
B.四棱锥外接球的表面积为 |
C.直线PC与直线AD所成角为 |
D.当动点M到直线BD的距离最小时,过点A,D,M作截面交PB于点N,则四棱锥的体积是 |
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2023-05-11更新
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2985次组卷
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9卷引用:四川省宜宾市叙州区第二中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题
四川省宜宾市叙州区第二中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学试题湖北省黄冈市浠水县第一中学2023届高三下学期5月五模数学试题(已下线)期末考试仿真模拟试卷02-(苏教版2019必修第二册)浙江省金华第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题(已下线)专题09 立体几何初步四川省射洪中学2022-2023学年高一下学期(强基班)第三次月考数学试题(已下线)2024届数学新高考Ⅰ卷精准模拟(四)福建省莆田市华侨中学2024届高三上学期第四次月考数学试题