1 . 已知正方体的所有顶点均在体积为的球O上，则该正方体的棱长为___________，若动点P在四边形内运动，且满足直线与直线所成角的正弦值为，则的最小值为___________．

3 . 如图，直角梯形中，四边形为正方形，，将沿边折起，折起后A点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：

①；
②平面平面；
③与所成角的正切值是；
④直线与平面所成角为
以上描述正确的有_____________．(把所有正确描述的序号都填上)

4 . 已知腰长为的等腰直角△ABC，现沿斜边BC上的高AD翻折，使得二面角B－AD－C的大小为60°，则点B到AC的距离为______；异面直线AB与CD所成角的余弦值为______．

5 . 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折至的位置．若为线段的中点，在翻折过程中（平面），给出以下结论：
①三棱锥体积最大值为；
②直线平面；
③直线与所成角为定值；
④存在，使．
则其中正确结论的序号为_________．（填写所有正确结论的序号）

6 . 如图，已知正方体的棱长为2，点E，F，G，H，I分别为线段，，，BC，的中点，连接，，，DE，BF，CI，EH，则下列正确结论的序号是______.

①点E，F，G，H在同一个平面上；
②直线DE，BF，CI交于同一点；
③直线BF与直线所成角的余弦值为；
④该正方体过EH的截面的面积最大值为.

7 . 如图，在直棱柱中，各棱长均为，，则下列说法正确的是________

（1）三棱锥外接球的表面积为
（2）异面直线与所成角的余弦值为
（3）当点在棱上运动时，最小值为
（4）是平面上一动点，若到直线与的距离相等，则的轨迹为抛物线

8 . 为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．有下列四个结论：
①经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
②异面直线AD与CF所成的角的余弦值为
③直线AD与平面DEF所成的角为
④球离球托底面DEF的最小距离为

其中正确的命题是__________请将正确命题的序号都填上

10 . 如图，棱长为1的正方体，点沿正方形按的方向做匀速运动，点沿正方形按的方向以同样的速度做匀速运动，且点分别从点A与点同时出发，则的中点的轨迹所围成图形的面积大小是________.