1 . 已知四棱锥中，底面为矩形，平面平面 ，，点，分别是， 的中点.

（1）求证：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值等于，求 的长.

2 . 在直三棱柱中，，，．

（1）求异面直线与所成角的正切值；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．

3 . 在底面为正方形的四棱锥中，平面平面分别为棱和的中点.

(1)求证:平面;
(2)若直线与所成角的正切值为，求平面与平面所成锐二面角的大小.

4 . 如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值.

5 . 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．

（1）求证：平面;
（2）求二面角的正弦值;
（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．

6 . 如图，在四棱锥中，底面，，，，是上一点，且.

（1）求证：平面；
（2）是的中点，若二面角的平面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.

7 . 已知长方体中，，，，点是棱上的动点.

（1）求三棱锥的体积；
（2）当点是棱上的中点时，求直线与平面所成的角（结果用反三角函数值表示）.

8 . 如图（1），边长为的正方形中，，分别为、上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，，沿，，折起，使、、三点重合于点，如图（3）.

（1）求证：；
（2）求二面角最小时的余弦值.

9 . 已知C是以AB为直径的圆周上一点，平面.

（1）求证：平面平面；
（2）若异面直线PB与AC所成的为，求二面角的余弦值.

10 . 如图,在四棱锥中,平面,为线段上一点不在端点.

(1)当为中点时，，求证：面
(2)当为中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由.