1 . 已知点在双曲线：（）上.
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

2 . （1）已知椭圆的焦距为10，离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程.

3 . 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.

4 . 已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离.

5 . 已知双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，求的值．

6 . 设等轴双曲线C的中心为O，焦点为，，P为C上任意一点，求证：．

7 . 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为，且经过点；
(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点；
(3)经过和两点．

8 . 综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知，是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程．

9 . 已知的两个顶点A，B的坐标分别是，且AC，BC所在直线的斜率之积等于，试探求顶点C的轨迹.