3 . 如图：已知三点、、都在椭圆上．

(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；
(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；
(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．

4 . 设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.

(1)求椭圆的方程；
(2)求点到直线的距离的最大值；
(3)判断的面积是否为定值，并说明理由.

5 . 若曲线 与曲线 恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为__________

6 . 如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．

(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的取值范围.

7 . 已知圆，动圆与圆内切，且与定直线相切，设圆心的轨迹为
(1)求的方程
(2)若直线过点，且与交于两点
①若直线与轴交于点，满足，试探究与的关系；
②过点分别作曲线的切线相交于点，求面积的最小值.

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上有一点，过点的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积的最大值；
(3)已知直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，证明：为定值．

9 . 已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则_____________.

10 . 在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：的交点的纵坐标为定值；
(3)求直线围成的三角形面积的最小值．