1 . 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，M为椭圆C上位于x轴上方一点，线段MF₁与圆x²+y²＝1相切于该线段的中点，且MF₁F₂的面积为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F₂的直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AMB＝90°，求直线l的方程．

2 . 已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P、T的横坐标分别为x₁，x₂，证明：x₁x₂＝1；
(3)设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且，求的取值范围．

3 . 椭圆的一个焦点，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)求以点为中点的弦所在的直线方程.

4 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点，为坐标原点，为椭圆上的两个动点，线段的中点在直线上，求面积的最大值．

5 . 已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l∥直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为，证明：为定值．

6 . 已知椭圆：的中心为，过焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，若，则椭圆的方程为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 已知椭圆C：的离心率，点F是椭圆C的右焦点，点F到直线的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设动直线l与坐标轴不垂直，l与椭圆C交于不同的M，N两点，若直线FM和FN的斜率互为相反数，试探究：动直线l是否恒过x轴上的某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

8 . 已知椭圆的焦点F₁、F₂在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF₁F₂为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为 ，则椭圆的方程为_______．

9 . 已知椭圆经过点，且右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过且斜率存在的直线交椭圆于、两点，记，若的最大值和最小值分别为、，求的值.

10 . 在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、.
①求证：为定值；
②求面积的最大值.