1 . 已知记离心率为的椭圆C的中心在顶点，焦点在x轴上，短轴长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A₁、A₂，点Q在第一象限且QA₂⊥A₁A₂，直线QA₁与椭圆C的另一个交点为P.设椭圆C的右焦点为F₂，线段QA₂的中点M到直线PF₂的距离为d，求的值.

2 . 请阅读下列材料，并解决问题：

圆锥曲线的第二定义

二次曲线，即圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线，包括椭圆，抛物线，双曲线等.2000多年前，古希腊数学家最先开始研究二次曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究二次曲线.阿波罗尼斯曾把椭圆叫“亏曲线”把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”，事实上，二次曲线由很多统一的定义、统一的二级结论等等.比如：平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个圆锥曲线的第二定义）.其中定点称为其焦点，定直线称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数称为其离心率.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.
(1)已知平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程为                 （直接写出结果，无需过程）.
(2)在（1）所求的曲线中是否存在一点，使得该点到直线的距离最小？最小距离是多少？

3 . 求焦点坐标为、，且过点的椭圆方程.

4 . 圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为.
(1)求的方程；
(2)若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值.

5 . 现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为________.
   

6 . 以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积；
(3)过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为，求证：.

7 . 已知椭圆的离心率是，长轴长，椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，，是椭圆上三个不同的点，是椭圆的右焦点，若原点是的重心，求的值；
(3)已知，椭圆四个动点，，，满足，，求直线的方程．

8 . 已知双曲线，是双曲线上一点.
(1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；
(2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；
(3)当直线：（常数）与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值.

9 . 已知，椭圆的面积为（其中，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）.若椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，直线与的另一交点为（，，均不与顶点重合），的周长为8，的面积为.
(1)求的标准方程；
(2)为原点，记直线，的斜率分别为，，求的值.

10 . 已知点P，Q是圆上的两个动点，若直线OP与OQ的斜率都存在且满足．
(1)当时，求PQ的中点M的轨迹方程；
(2)当时，椭圆与动直线PQ恒相切，求椭圆C的标准方程．