1 . 圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为.
(1)求的方程；
(2)若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值.

2 . 已知椭圆：，，为左右焦点，直线l过左焦点与椭圆交于A，B两点，其中A在第一象限，记，，．

(1)若椭圆的离心率为，三角形的周长为6，求椭圆的方程；
(2)求证：；
(3)直线与椭圆交于另一点，若，求的最大值．

3 . 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆:中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为.已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为（       ）

A．点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为

B．若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为

C．若上任意一点都满足，则

D．若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为

4 . 如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃.
   
(1)求椭圆上的点到直线的最短距离；
(2)求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值.

5 . 若椭圆离心率为，，为椭圆的两个焦点，为短轴的一个端点，则__________.

6 . 焦点在轴上且中心为原点的椭圆与椭圆：离心率相同，且，在第一象限内公共点的横坐标为1，则的方程_______________

7 . 对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．

   

(1)求椭圆伴随双曲线的方程；
(2)如图，点，分别为的下顶点和上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若的面积为，求．

8 . 已知离心率为的椭圆的方程为，则（       ）

A．2

B．

C．

D．3

9 . 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相交于两点M，N，且．
(1)求C的方程；
(2)若点，直线与椭圆C交于两点B，D，且与x轴交于点T．连接和．从下列三个条件中选取一个作为条件，探究直线l是否过定点，如是，请求出，如果不是，请说明理由．
①点B关于x轴的对称点在直线上；
②若直线与直线的倾斜角分别为，，且满足；
③B，D两点不在x轴上，设和的面积分别为和，且．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

10 . 人造地球卫星在以地球的球心为一个焦点的椭圆轨道上运行，运行轨道离地面的最近距离为600千米，离心率为，将地球看作一个半径为6400千米的球体，以运行轨道的中心为坐标原点，运行轨道的中心与近地点所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记该卫星的运行轨迹为曲线，定义千米为.
(1)以为单位，求曲线的方程；
(2)已知三颗卫星在轨道上运行，当轨道中心恰好为的重心时，则称此时为“三星对中”状态.则当三颗卫星成“三星对中”状态时，的面积是否为定值？若是，求出这个定值并给出证明；若不是，请说明理由.