1 . 已知椭圆和双曲线有公共的焦点、，P是两曲线的一个交点．
(1)求；
(2)求证：；
(3)求证：的面积为．

4 . 已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．

5 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点．

6 . 已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；
(2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值.

7 . 已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．
①求证：为定值；
②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标．

8 . 已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点．

9 . 已知双曲线的左､右焦点为，点在双曲线的右支上.且，三角形的面积为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与轴交于点，过作斜率不为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点.直线交直线于点，直线交直线于点.试证明：为定值，并求出该定值.

10 . 已知P为双曲线上一点，、为双曲线的两个焦点，，求证：.