1 . 已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若离心率时，求的值．
(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．
(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．

2 . 设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．

3 . 彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的椭圆形、双曲线或抛物线.它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸"现象，终生只能接近太阳一次，永不复返.通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点离心率为的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为.
(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为，，过，作双曲线的切线，，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线与交于点M，直线交于点N.求证：M，N，Q三点共线.

4 . 设点的坐标分别是,是平面内的动点，直线的斜率之积为，动点的轨迹与曲线相交于4个点，以这四个交点为顶点的矩形的面积等于，则轨迹的离心率等于（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 在平面直角坐标系中，若以原点为中心的双曲线经过旋转变换后为函数的图象，函数的定义域为且，若在定义域内存在反函数，则双曲线离心率的取值范围为__________.

6 . 已知在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点为双曲线右支上一点，直线交双曲线于另一点，且，直线经过椭圆的下顶点，记的离心率为的离心率为，则（       ）

A．	B．
C．	D．

7 . 双曲线的左，右顶点分别为，右焦点到渐近线的距离为为双曲线在第一象限上的点，则下列结论正确的有（       ）

A．双曲线的渐近线方程为

B．双曲线的离心率为

C．设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则为定值

D．若直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，且，则

8 . 阅读下列两则材料：
材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点．
材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数的图象的研究发现：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为．
①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为．
②若，则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为，．
完成下列填空：
已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为______．

9 . 已知是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点，，则（       ）

A．C的离心率为

B．C的焦距为2

C．平面上存在两个定点A，B，使得

D．的最小值为

10 . 已知轴上的点是椭圆的长轴顶点，也在双曲线上，设过坐标原点且斜率互为相反数的两条直线与椭圆的四个交点构成的四边形面积为，双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点构成的四边形面积为，若恒成立，椭圆和双曲线的离心率分别为，，则______．