解题方法
1 . 在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.
(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦
，且弦长度为
，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
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2 . 已知抛物线
的焦点为F，点
在E上．
(1)求
；
(2)O为坐标原点，E上两点A、B处的切线交于点P，P在直线
上，PA、PB分别交x轴于M、N两点，记
和
的面积分别为
和
．试探究：
是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
的焦点为F，点在E上．(1)求
；(2)O为坐标原点，E上两点A、B处的切线交于点P，P在直线
上，PA、PB分别交x轴于M、N两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
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2022-03-29更新
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862次组卷
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3卷引用：云南省昆明市2022届高三”三诊一模“复习教学质量检测数学（理）试题
名校
解题方法
3 . 已知抛物线C：
（
）的焦点为F，M（4，
）是抛物线C上的点，O为坐标原点，
．
(1)求抛物线C的方程；
(2)P（a，b）（
）为抛物线C上一点，过点P的直线l与圆
相切，这样的直线l有两条，它们分别交该抛物线C于A，B（异于点P）两点．若直线l的方程为
，当|PA|=|PB|时，求实数a的值．
（）的焦点为F，M（4，）是抛物线C上的点，O为坐标原点，．(1)求抛物线C的方程；
(2)P（a，b）（
）为抛物线C上一点，过点P的直线l与圆相切，这样的直线l有两条，它们分别交该抛物线C于A，B（异于点P）两点．若直线l的方程为，当|PA|=|PB|时，求实数a的值．
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2022-03-25更新
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639次组卷
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4卷引用：湖南省三湘名校教育联盟2022届高三下学期3月大联考数学试题
名校
解题方法
4 . 设抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，且
，椭圆
右焦点也为，离心率为
．
(1)求抛物线方程和椭圆方程；
(2)若不经过的直线与抛物线交于
、
两点，且
（
为坐标原点），直线与椭圆交于
、
两点，求
面积的最大值．
的焦点为，点在抛物线上，且，椭圆右焦点也为，离心率为．(1)求抛物线方程和椭圆方程；
(2)若不经过
的直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值．
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2022-03-24更新
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420次组卷
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2卷引用：河北省石家庄市2021-2022学年高二上学期期末数学试题
5 . 在平面直角坐标系
中，圆
外的点
在
轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为
．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点，以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点
，线段
交于点
，证明：是的中点．
中，圆外的点在轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为．(1)求
的方程；(2)过点
的直线交于，两点，以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点，线段交于点，证明：是的中点．
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名校
解题方法
6 . 在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：
上一点
到焦点F的距离
.不经过点S的直线l与E交于A，B.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若直线AS，BS的斜率之和为2，证明：直线l过定点.
上一点到焦点F的距离.不经过点S的直线l与E交于A，B.(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若直线AS，BS的斜率之和为2，证明：直线l过定点.
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2022-03-09更新
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737次组卷
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12卷引用：“星云”2022届高三上学期第二次线上联考数学试题
“星云”2022届高三上学期第二次线上联考数学试题河北省唐山市第一中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（已下线）考向42 抛物线山西省太原市第五中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）第十一章 圆锥曲线专练18—抛物线综合练习2-2022届高三数学一轮复习（已下线）一轮复习大题专练68—抛物线2（定点问题1）—2022届高三数学一轮复习江西省重点中学盟校2022届高三第一次联考数学（理）试题（已下线）热点11 圆锥曲线的定义方程与性质【热点·重点·难点】专练（全国通用）河南省豫北名校2021-2022学年高二下学期4月份教学质量检测理科数学试题西藏拉萨中学2021-2022学年高二3月月考数学（理）试题西藏拉萨中学2021-2022学年高二3月月考数学（文）试题河南省开封市天成学校2023届高三文科数学试题
21-22高二·全国·课后作业
7 . 若抛物线（）上一点M到它准线的距离为2，且点M到此抛物线顶点的距离等于点M到它的焦点的距离，求此抛物线的焦点坐标．
（）上一点M到它准线的距离为2，且点M到此抛物线顶点的距离等于点M到它的焦点的距离，求此抛物线的焦点坐标．
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21-22高二·江苏·课后作业
8 . （阅读题）在工程中，画拱宽为
，拱高为h的抛物线，常用下面的画法：
（1）作矩形ABCD，使
，
；
（2）分别取CD，AB的中点O，H，把线段DA，OD，HA各n等分；
（3）如图连线得到各交点，将交点连成光滑曲线，就得到抛物线的一半；
（4）用同样方法画出抛物线的另一半．
你能说明上述画法的正确性吗？
，拱高为h的抛物线，常用下面的画法：（1）作矩形ABCD，使
，；（2）分别取CD，AB的中点O，H，把线段DA，OD，HA各n等分；
（3）如图连线得到各交点，将交点连成光滑曲线，就得到抛物线的一半；
（4）用同样方法画出抛物线的另一半．
你能说明上述画法的正确性吗？
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解题方法
9 . 已知抛物线
上的点
到其焦点F的距离为5.
(1)求C的方程；
(2)过点
的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.
上的点到其焦点F的距离为5.(1)求C的方程；
(2)过点
的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.
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名校
解题方法
10 . 已知抛物线
的焦点是椭圆
的右焦点，且两条曲线的一个交点为
，若E到
的准线的距离为
，到
的两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右顶点的两条直线
，
分别与抛物线相交于点A，C，点B，D，且
，M是AC的中点，N是BD的中点，证明：直线MN恒过定点.
的焦点是椭圆的右焦点，且两条曲线的一个交点为，若E到的准线的距离为，到的两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆
的方程；(2)过椭圆
的右顶点的两条直线，分别与抛物线相交于点A，C，点B，D，且，M是AC的中点，N是BD的中点，证明：直线MN恒过定点.
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2022-01-27更新
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526次组卷
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2卷引用：河南省原阳县第─高级中学等2021-2022学年高三上学期模拟测试数学（理科） 试题
