1 . 已知为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.直线：与抛物线交于、两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为坐标原点，轴上是否存在点，使得当变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

2 . 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．

3 . 已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.
（1）求双曲线的焦点坐标；
（2）若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.

4 . 已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于点．当的倾斜角为45°时，．
（1）求抛物线的方程；
（2），当绕点旋转时，抛物线上总存在点，使得四边形为平行四边形（点在直线的两侧）．
（i）求的值；
（ii）记的面积为，求的最小值．

5 . 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，(其中)是上的一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为抛物线上除顶点之外的任意一点，在点处的切线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，设，，的斜率分别为，，，求证：，，成等比数列.

6 . 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则.
（1）求抛物线C的方程；
（2）分别过点A，B作抛物线C的切线、，若，分别交x轴于点M，N，求四边形面积的最小值.

7 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线：上一点到准线的距离与到原点的距离相等.
（1）求抛物线的方程；
（2）过不在轴上的点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，若，求证：直线过定点.

8 . 已知抛物线的焦点为F，抛物线C上A，B两点满足，线段的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，求的最小值．

9 . 如图，已知抛物线的焦点是，准线是.

（1）写出焦点的坐标和准线的方程；
（2）已知点，若过点的直线交抛物线于不同的两点、（均与不重合），直线、分别交于点、，求证：.

10 . 已知抛物线焦点为，准线与轴的交点为.
（Ⅰ）抛物线上的点P满足，求点的坐标；
（Ⅱ）设点是抛物线上的动点，点是的中点，，求点的轨迹方程.