1 . 已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．   
（1）求的方程；
（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．

2 . 已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．

3 . 已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的右顶点为，直线交椭圆于两点（与点不重合），且满足，若点为中点，求直线斜率的最大值．

4 . 如图，在直角坐标系中，椭圆的上焦点为，椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程.
（2）设过椭圆的上顶点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的方程.

5 . 设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .
（1）求椭圆的方程;
（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.

6 . 在直角坐标系中，已知直线与椭圆：相切，且椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则的面积为________．

7 . 已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值.

8 . 已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，记椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的点，直线与直线分别交于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作椭圆的切线，记，且，求的值.

9 . 已知椭圆的焦距为，设右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，线段的中点为，且.
（1）求弦的长；
（2）当直线的斜率，且直线时，交椭圆于，若点在第一象限，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.

10 . 已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.