1 . 已知椭圆C：，左、右顶点分别为．
   
(1)设直线l：与x轴交于点D，P点是椭圆C异于的动点，直线，分别交直线l于E，F两点，求证：为定值．
(2)如图，原点O到：距离为1，直线与椭圆C交于A，B两点，直线：与平行且与椭圆C相切于点M（O，M位于直线的两侧）．记，的面积分别为，若，求实数的取值范围．

2 . 如图，线段的两个端点分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化.

(1)求点的轨迹方程；
(2)动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上.

3 . 已知椭圆C：焦距为6，且椭圆C上任意一点（异于长轴端点）与长轴的两个顶点连线的斜率之积为定值．
(1)求曲线C的方程；
(2)过右焦点作直线l交曲线C于M、N两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值．

4 . 已知椭圆：中，A为的上顶点，P为上异于上、下顶点的动点，为x轴上的动点．
(1)若，求点P的纵坐标；
(2)设，若是直角三角形，求的值；
(3)若，是否存在以AM，AP为邻边的平行四边形MAPQ，使得点Q在上？若存在，求出此时点P的纵坐标；若不存在，说明理由．

5 . 已知椭圆的左、右顶点分别为．
(1)设为上异于的任意一点，求直线与直线斜率之积.
(2)已知，直线分别与交于（异于），求直线的方程．

6 . 已知椭圆：（）的焦距为4，且经过点，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若，求的值.

7 . 已知椭圆（其中）上顶点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点所围成的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与相交于A、两点，试问曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆：过点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆和圆：．过点作直线和，且两直线的斜率之积等于1，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点、，求的取值范围．

9 . 已知椭圆（）的长轴长是短轴长的2倍.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点且与椭圆有唯一公共点，为坐标原点，当的面积最大时，求椭圆的方程.

10 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆恰好过原点，求直线的方程.