1 . 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.
①求；
②记，，求.

2 . 已知双曲线，点在上．按如下方式构造点（）；过点作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)记，证明：数列为等比数列；
(3)为坐标原点，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，求的值．

3 . 已知双曲线的离心率为，右焦点为.
(1)求的方程；
(2)设动直线与双曲线有且只有一个公共点（在第一象限），且与直线相交于点.
①证明：；
②设为坐标原点，求面积的最小值.

4 . 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？

5 . 已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为3．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线的一支交于两个不同的点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求点到直线的距离的取值范围．

6 . 如果直线与双曲线只有一个公共点，那么它们一定相切吗？

7 . 已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；

8 . 直线与椭圆、直线与双曲线有哪几种位置关系？研究时采用了哪些方法？

9 . 在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)已知点，不过的直线与交于，两点，直线，，的斜率依次成等比数列，求到距离的取值范围.

10 . 若直线与双曲线只有一个公共点，则此时直线与双曲线一定相切，对吗？