名校
解题方法
1 . 已知点
，动点
满足
.
(1)求点的轨迹
的方程；
(2)若轨迹的左右顶点分别为
，直线
与直线
交于点
，直线
与轨迹交于相异的两点
，当点不在
轴上时，分别记直线
与
的斜率为 
，
，求证： 
是定值.
，动点满足.(1)求点
的轨迹的方程；(2)若轨迹
的左右顶点分别为，直线与直线交于点，直线与轨迹交于相异的两点，当点不在轴上时，分别记直线与的斜率为 ，，求证： 是定值.
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2024-01-25更新
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1021次组卷
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2卷引用：湖南省株洲市第二中学2024届高三上学期第一次调研数学试题
名校
解题方法
2 . 已知椭圆：
经过点
，且离心率为
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线
，
均过点A，且互相垂直，直线与圆O：
交于M，N两点，直线与椭圆C交于另一点B，求
面积的最大值.
：经过点，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；
(2)直线
，均过点A，且互相垂直，直线与圆O：交于M，N两点，直线与椭圆C交于另一点B，求面积的最大值.
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2023-05-29更新
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565次组卷
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4卷引用：湖南省郴州市宜章县四校2023届高三模拟数学试题
名校
3 . 直线
与椭圆
(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______ ，点P的坐标是________ .
与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝
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4 . 已知O为坐标原点，M是椭圆
上的一个动点，点N满足
，设点N的轨迹为曲线
．
(1)求曲线的方程．
(2)若点A，B，C，D在椭圆
上，且
与
交于点P，点P在上．证明：
的面积为定值．
上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线．(1)求曲线
的方程．(2)若点A，B，C，D在椭圆
上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值．
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2023-01-12更新
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1579次组卷
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10卷引用：湖南省湘潭市2023届高三上学期二模数学试题
名校
解题方法
5 . 已知离心率为
的椭圆C1：
(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：
的焦点.
(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
的椭圆C1：(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：的焦点.(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
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2022-01-30更新
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1497次组卷
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4卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2023届高三下学期仿真卷(一)数学试题
6 . 已知椭圆：
.
（1）椭圆是否存在以点
为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线
的方程，若不存在，请说明理由；
（2）已知椭圆的左､右顶点分别为
，
，点是椭圆上的点，若直线，
分别与直线
交于
，
两点，求线段
的长度取得最小值时直线
的斜率.
：.（1）椭圆
是否存在以点为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆
的左､右顶点分别为，，点是椭圆上的点，若直线，分别与直线交于，两点，求线段的长度取得最小值时直线的斜率.
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名校
7 . 已知椭圆：（
）的左、右焦点分别为
，
，右顶点为，上顶点为，且满足
．
（1）求椭圆的离心率
；
（2）设为椭圆上异于顶点的点，以线段为直径的圆经过点，试问是否存在过点的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，请说明理由．
：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且满足．（1）求椭圆
的离心率；（2）设
为椭圆上异于顶点的点，以线段为直径的圆经过点，试问是否存在过点的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，请说明理由．
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2021-06-15更新
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1504次组卷
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3卷引用：湖南省2021届高三下学期高考冲刺试卷(三)数学试题
8 . 已知椭圆：
，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为
，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆
：
.
（1）已知点
，
为椭圆上两定点，求
的共轭直径的端点坐标.
（2）过点
作直线与椭圆交于
､
两点，直线
与椭圆的另一个交点为
，直线
与椭圆的另一个交点为
.当
的面积最大时，直径
与直径
是否共轭，请说明理由.
（3）设
和
为椭圆的一对共轭直径，且线段
的中点为
.已知点满足：
，若点在椭圆的外部，求
的取值范围.
：，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆：.（1）已知点
，为椭圆上两定点，求的共轭直径的端点坐标.（2）过点
作直线与椭圆交于､两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.当的面积最大时，直径与直径是否共轭，请说明理由.（3）设
和为椭圆的一对共轭直径，且线段的中点为.已知点满足：，若点在椭圆的外部，求的取值范围.
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2021-05-02更新
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293次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2021届高三下学期高考模拟(一)数学试题
9 . 在平面直角坐标系
中，已知圆
，线段
的中点是坐标原点
，设直线
的斜率分别为
，且
.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设直线分别交圆于点
，直线
的斜率分别为
，已知直线
与轴交于点
.问：是否存在常数，使得
若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
中，已知圆，线段的中点是坐标原点，设直线的斜率分别为，且.（1）求
点的轨迹方程；（2）设直线
分别交圆于点，直线的斜率分别为，已知直线与轴交于点.问：是否存在常数，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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10 . 已知
以椭圆的一个焦点，短轴的一个端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形，且点
在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作圆
的切线，切点分别为
，直线与轴交于点，过点作直线交椭圆于
两点，点关于
轴的对称点为
，求
面积的最大值.
以椭圆的一个焦点，短轴的一个端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形，且点在椭圆上．（1）求椭圆
的标准方程；（2）过点
作圆的切线，切点分别为，直线与轴交于点，过点作直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为，求面积的最大值.
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