1 . 已知直线l：y＝x﹣1与椭圆C：1（a＞1，b＞0）相交于P，Q两点M，．
(1)证明椭圆过定点T（x₀，y₀），并求出的值；
(2)求弦长|PQ|的取值范围．

2 . 在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足，记点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设点A，B，C是曲线E上不同的三点，若坐标原点O是的重心，求证：的面积为.

3 . 已知椭圆（）的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程
(2)分别过椭圆的左、右焦点、作两条互相垂直的直线和，与交于，与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点
①求证：；
②求证：定值.

4 . 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的上､下顶点分别为，，点在椭圆上且异于点，，直线､与直线分别交于点､.

(1)设直线､的斜率分别为､，判断是否为定值？请证明你的结论；
(2)求线段长的最小值；
(3)当点运动时，以为直径的圆是否经过轴上的定点？请证明你的结论.

5 . 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，且，如图所示，证明：．

7 . 椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．

8 . 椭圆的左､右焦点分别为F₁､F₂，焦点F₁，F₂和原点O将椭圆C的长轴恰好四等分，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F₁的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P在x轴上且在焦点F₁的右侧，若始终保持线段AB的长度是线段PF₁的长度的4倍，证明：线段PA与线段PB的长度相等.

10 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.
（1）求的标准方程；
（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；
（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.