1 . 如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P.

(1)求的值；
(2)试问：当为何值时，?
(3)求证：.

2 . 已知向量，且与的夹角为.
(1)求证：（；
(2)若与的夹角为，求的值.

3 . （1）化简：
（2）证明恒等式：

4 . 如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为（为参数，），当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.

(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论：______.（用，表示）
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：有唯一的正零点，并比较和的大小.

5 . 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.设.

(1)求的模长；
(2)若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由.

6 . 已知向量的夹角为，且.
(1)求证：；
(2)若，且，求实数的值.

7 . 已知函数，.
(1)求函数的值域；
(2)设函数，证明：有且只有一个零点，且.

8 . 设非零向量，并定义
(1)若，求；
(2)写出之间的等量关系，并证明；
(3)若，求证：集合是有限集.

9 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，作.当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.
(1)分别根据下列已知条件求；
①；②；
(2)若向量，求证：
(3)记，且满足，，，求的最大值.

10 . 设、是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：、、三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若、为单位向量，且、夹角的正弦值为，求的模.