1 . 【归纳探索】定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列叫做等差数列.等差数列中前n项的和记作.
(1)已知1，2，3，…，2022，2023是等差数列，其前2023项的和记作.请求的值；
(2)已知：，，，…，，是等差数列，，其前n项的和记作.求证：.
(3)【类比迁移】定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q（），那么这个数列叫做等比数列（注意：时为常数列）.等比数列中前n项的和记作.
已知：，，，…，，是等比数列，（且，），其前n项的和记作.求证：.
(4)【学以致用】试求的值.

2 . 一个凸多边形的最小内角为，其他内角依次增加，则的值等于（       ）

A．6或12

B．6

C．8

D．12

3 . 随着国家“双碳”（碳达峰与碳中和的简称）目标的提出，我国风电发展驶入快车道，陆地、海上的风机（如下左图，顶端外形是大风车，又称风力发电大风车）纷纷“拔地而起”，成为保护环境、输送绿色能源的“风中使者”．如图，一学习兴趣小组为了测量某风力发电大风车AB的高度，在点A正东方点C处测得风车顶端点B的仰角为30°，在点A南偏西30°方向的点D处测得点B的仰角为60°，且C，D相距米，其中平面ADC，则AB的高度为_____________米．
   

4 . 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．

   

(1)求的值；
(2)测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？

5 . 已知在中，，，；
(1)现将绕点顺时针旋转得到，
i）如图1，当点落在上时，则________．
   
ii）如图2，在旋转过程，连接，，试探究，的数量关系，并说明理由；
   
(2)如图3，延长至点，使，连接；现将绕点顺时针旋转得到，所在的直线与直线交于点，与线段交于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．
   

6 . 如图，第个图形是由棱长为的正方体挖去棱长为的正方体得到的，记其体积为.
   
(1)求证：；
(2)求和：.

7 . 如图数阵中，第一行有两个数据圴为1，将上一行数据中每相邻两数的和插入到两数中，得到下一行数据，形成数阵，则数阵第11行共有_________个数，第行所有数据的和_________.

   

8 . 如图，一个各项均为正数的数表中，每一行从左至右均是等差数列，每一列从上至下均是等比数列，且公比相等，记第行第列的数为.

1			…
	6
		20
…

(1)求；
(2)记，求数列的前项的和.

9 . 莱布尼茨三角是与杨辉三角数阵相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和．记第2行的第2个数字为，第3行的第2个数字为，…，第行的第2个数字为，则（       ）．
   

A．

B．

C．

D．

10 . 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作n次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后所得的面积为______；第n次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为______．