2024·全国·模拟预测
1 . 设
为实数
中最大的数．若，
，则
的最小值为______ ．
为实数中最大的数．若，，则的最小值为
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2 . 对于给定的正整数
，若对任意的正整数
，数列
均满足
，且
，则称数列是“
数列”．
(1)证明：各项均为正数的等比数列是“数列”．
(2)已知数列既是“
数列”，又是“
（3）数列”．
①证明：数列是等比数列．
②设数列的前
项和为
，若
，
，问：是否存在正整数
，使得
？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．
，若对任意的正整数，数列均满足，且，则称数列是“数列”．(1)证明：各项均为正数的等比数列
是“数列”．(2)已知数列
既是“数列”，又是“（3）数列”．①证明：数列
是等比数列．②设数列
的前项和为，若，，问：是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．
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3 . 若项数为（
）的数列
：
，
，…，
满足：
.定义变换
：将数列中原有的每个0都变成0，1，原有的每个1都变成1，0，若
，1，
.
(1)求
；
(2)若
中0的个数记为
，1的个数记为
，
，求；
(3)记中连续两项都是1的数对个数记为
，求.
（）的数列：，，…，满足：.定义变换：将数列中原有的每个0都变成0，1，原有的每个1都变成1，0，若，1，.(1)求
；(2)若
中0的个数记为，1的个数记为，，求；(3)记
中连续两项都是1的数对个数记为，求.
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解题方法
4 . 如图，四边形
由
和
拼接而成，其中
，
，若
与
相交于点
，
，
，
，且
，则
的面积
______ ．
由和拼接而成，其中，，若与相交于点，，，，且，则的面积
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5 . 设函数
，正实数
满足
，若
，则实数
的最大值为（ ）
，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ）A． | B．4 | C． | D． |
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6 . 若圆内接四边形满足
，
，则四边形的面积为（ ）
满足，，则四边形的面积为（ ）A． | B． | C．3 | D． |
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7 . 若实数列满足
，有
，称数列为“
数列”.
(1)判断
是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数
，且
，都有
(3)已知数列为“数列”，且
.令
，其中
表示中的较大者.证明：
，都有
.
满足，有，称数列为“数列”.(1)判断
是否为“数列”，并说明理由；(2)若数列
为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有(3)已知数列
为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有.
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8 . 如图，四边形是圆柱
的轴截面且面积为2，四边形
绕逆时针旋转
到四边形
，则（ ）
是圆柱的轴截面且面积为2，四边形绕逆时针旋转到四边形，则（ ）
A．圆柱的侧面积为 |
B．当 时， |
C．当时，四面体 的外接球表面积最小值为 |
D．当 时， |
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9 . 设为数列
的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且
，
，则
是
的必要非充分条件；②若是等比数列且，，则
的充要条件是
.那么（ ）
为数列的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，，则的充要条件是.那么（ ）| A．①是真命题，②是假命题 | B．①是假命题，②是真命题 |
| C．①、②都是真命题 | D．①、②都是假命题 |
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10 . 已知数列的前项和为，且
.若
，则的最小值为__________ .
的前项和为，且.若，则的最小值为
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