1 . 已知双曲线的离心率为，且左焦点到渐近线的距离为.过作直线分别交双曲线于和，且线段的中点分别为，.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线斜率的乘积为，试探究：是否存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为4？若存在，请求出圆的标准方程；若不存在，请说明理由.

2 . 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是的极小值点，求的取值范围．

3 . 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线PA交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．

4 . 已知函数．（是自然对数的底数）
(1)若，，求不等式的解集；
(2)若，证明：对任意，成立；
(3)若，试讨论函数的零点个数，并说明理由．

5 . 已知函数的最小值为.
(1)求实数的值；
(2)若有两个不同的实数根，求证：.

6 . 已知椭圆的离心率为，抛物线在第一象限与椭圆交于点，点为抛物线的焦点，且满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为、，与轴的交点为．若、、的面积成等差数列，求实数的取值范围.

7 . 已知函数的定义域为集合，函数的值域为.
(1)当时，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

8 . 已知函数在处取得极小值5．
(1)求实数a，b的值；
(2)当时，求函数的最小值．

9 . 设函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)证明：.

10 . 已知椭圆的左焦点为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，求的面积.