1 . 如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．
   
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

2 . 已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由.

3 . 已知等轴双曲线的对称轴都在坐标轴上，并且经过点，求双曲线的标准方程、离心率、实轴长.

4 . 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．

5 . 如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且．

(1)求的长;
(2)求二面角的正弦值.

6 . 已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值；
(3)设和的面积分别为、，求的最大值．

7 . 如图，正三棱柱中，E是棱的中点，，点F在线段AC上，且．

(1)求证：平面．
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．

8 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，平面平面．

(1)求证：平面；
(2)若点为线段上的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．

9 . 已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积.

10 . 已知平面内两定点，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求．