名校
1 . 由
个正整数构成的有限集
（其中
），记
，特别规定
，若集合M满足：对任意的正整数
，都存在集合M的两个子集A，B，使得
成立，则称集合
为“满集”.
(1)分别判断集合
与
是否为“满集”，请说明理由；
(2)若集合为“满集”，求
的值：
(3)若为满集，
，求的最小值.
个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合为“满集”.(1)分别判断集合
与是否为“满集”，请说明理由；(2)若集合
为“满集”，求的值：(3)若
为满集，，求的最小值.
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2 . 当一个非空数集
满足“如果
，则
，且
时，
”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则
；③集合
是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（ ）
满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（ ）| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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名校
解题方法
3 . 已知数集
具有性质
：对任意的
，
，
，使得
成立．
(1)分别判断数集
与
是否具有性质，并说明理由；
(2)若
，求
中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合；
(3)求证：
．
具有性质：对任意的，，，使得成立．(1)分别判断数集
与是否具有性质，并说明理由；(2)若
，求中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合；(3)求证：
．
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2024-02-24更新
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111次组卷
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2卷引用：北京市第十九中学2022-2023学年高一上学期（10月月考）期中练习（一）数学试题
名校
4 . 已知有个连续正整数元素的有限集合
（
，
），记有序数对
，若对任意
，
，
，
且
，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：
；
条件②：
.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.条件①：
；条件②：
.(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
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2024-02-23更新
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216次组卷
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2卷引用：北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷
5 . 已知集合
，若
中元素的个数为
，且存在
，使得
，则称是的
子集．
(1)若
，写出的所有
子集；
(2)若为的子集，且对任意的
，存在
，使得
，求的值．
，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集．(1)若
，写出的所有子集；(2)若
为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值．
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6 . 称
是
的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：（1）任意
，
；（2）任意
和
，有
.任取
，称包含
的最小向往集合称为的生成向往集合，记为
.
(1)求满足
的正整数
的值；
(2)对两个向往集合
，定义集合
（i）证明：
仍然是向往集合，并求正整数，满足
；
（ii）证明：如果
，则
.
是的一个向往集合，当且仅当其满足如下两条性质：（1）任意，；（2）任意和，有.任取，称包含的最小向往集合称为的生成向往集合，记为.(1)求满足
的正整数的值；(2)对两个向往集合
，定义集合（i）证明：
仍然是向往集合，并求正整数，满足；（ii）证明：如果
，则.
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7 . 非空集合A具有如下性质：①若
，则
；②若，则
下列判断中，正确的有（ ）
A． | B． |
C．若，则 | D．若，则 |
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8 . 对于集合中的任意两个元素
，若实数
同时满足以下三个条件：
①“
”的充要条件为“
”；
②
；
③
，都有
．
则称为集合上的距离，记为
．则下列说法正确的是（ ）
中的任意两个元素，若实数同时满足以下三个条件：①“
”的充要条件为“”；②
；③
，都有．则称
为集合上的距离，记为．则下列说法正确的是（ ）A． 为 |
B． 为 |
C．若 ，则 为 |
D．若 为 ，则 也为（ 为自然对数的底数） |
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解题方法
9 . 已知集合
．
(1)求
和
；
(2)定义
且
，求
和
．
．(1)求
和；(2)定义
且，求和．
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10 . 设 
是正整数，集合 
. 对于集合中任意元素
和 
，记 
，
. 则（ ）
是正整数，集合 . 对于集合中任意元素和 ，记 ，. 则（ ）A．当 时，若 ，则  |
B．当时， 的最小值为  |
C．当 时，  恒成立 |
D．当时，若集合 ，任取 中2个不同的元素 ， ，则集合 中元素至多7个 |
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