1 . 如图：已知三点、、都在椭圆上．

(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；
(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；
(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．

3 . 已知函数，其中．
(1)若，求的值；
(2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值；
(3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值．

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点(点在点的上方)，与轴交于点.
(1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长;
(2)当且直线过点时，设，求证:为定值，并求出该值;
(3)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值;并求此时面积的最大值.

6 . 已知函数.
(1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心.
(2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围.
(3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围.

7 . 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（       ）

A．的最小值为的最小值为

B．的最小值为的最大值为

C．的最小值大于的最小值大于

D．的最大值小于的最大值小于

10 . 如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上.

(1)求线段的长；
(2)若线段的中点在轴上，求的面积；
(3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由.