1 . 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示．已知M，N为的两个端点，点到的距离分别为20千米和5千米，点到的距离分别为4千米和25千米，分别以所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy．假设曲线符合函数（其中a，k为常数）模型．

(1)求a，k的值；
(2)设公路与曲线相切于点，点的横坐标为．
①求公路所在直线的方程；
②当为何值时，公路的长度最短?求如最短长度．

2 . 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若，，均不相等，且，则___.

3 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的极值点；
(3)写出的一个值，使方程有两个不等的实数根.并证明你的结论.

4 . 已知函数，曲线在点处切线斜率为
(1)求的值；
(2)求证：有且只有一个极值点；
(3)求证：方程无解．

5 . 已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为_________.

6 . 设函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)令，求的单调区间；
(3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围．

7 . 设函数，曲线在点处的切线斜率为1.
(1)求的值；
(2)设函数，判断函数的零点的个数；
(3)求证：.

8 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数在区间上的单调性；
(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

10 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证： 当时，.