1 . 已知．
(1)求函数的极值；
(2)求证：对任意正整数n，有；
(3)记，求整数a，使得．

2 . 已知函数，．
(1)若函数（其中：为的导数）有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，求证：．

3 . 已知函数，其中.
(1)当时，求的最小值；
(2)证明有且仅有一个极小值点，并求的最大值.

4 . 已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)证明：
①；          
②（，且）.

5 . 已知函数，曲线在处的切线也与曲线相切.
(1)求实数的值；
(2)若是的最大的极小值点，是的最大的极大值点，求证：.

6 . 已知，，直线是在处的切线，直线是在处的切线，若两直线、夹角的正切值为，且当时，直线恒在函数图象的下方.
(1)求的值；
(2)设，若是在上的一个极值点，求证：是函数在上的唯一极大值点，且.

7 . 已知函数（其中为实数）．
(1)若，证明：；
(2)探究在上的极值点个数．

8 . 已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：．

9 . 已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，已知方程有两个不同的实根，，证明：.（其中是自然对数的底数）

10 . 已知函数.
(1)证明：当时，在区间上存在极值点；
(2)记在区间上的极值点为m，在区间上的零点的和为n，请比较2m与n的大小.