1 . 如图，在中，，D为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接．

   

(1)求证：；
(2)若点D是中点，说明四边形是矩形．

2 . 如图，点、、、共线，，，．求证：．

   

3 . 如图，点、在上，，要用证，则需添加的条件为______．

4 . [问题提出]我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
[初步思考]
(1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______， _____；

(2)如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为_______________；（用m的代数式表示）

[问题解决]
(3)如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（① 直尺为无刻度直尺；② 不写作法，保留作图痕迹）；

[实际应用]
(4)如图4，在边长为6的等边三角形中，点、分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是__________________．

6 . 如图，点C、E、B、F在一条直线上，，．

   

(1)求证：．
(2)若，求：的长．

7 . 如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为______．

8 . 如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知，如图，点、在上，且，，．
求证：．

10 . 如图:，欲证，则可增加的条件是（       ）．

A．	B．
C．	D．