1 . 等边中，于点，点为边上一动点，连接，点关于直线的对称点为点，连接．

(1)如图1，点恰好落在的延长线上，则求______；
(2)过点作交于点，连接交于点．
①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由：
②如图3，直线交于点，连接点运动的过程中．当取最小值时，请直接写出线段的长度．

2 . 已知是等腰直角三角形，，，点D在线段上运动．

(1)如图1，连接，过点C作交的延长线于点E．过点A作交于点F，若，，求的长；
(2)如图2，点H是边上一点，连接，过点A作交延长线于点G．若，将绕点D顺时针旋转得到线段，交于点K，连接，过点C作交于点N，垂足为P．求证：；
(3)如图3，若，连接并将绕点D逆时针旋转得到线段，连接、，取中点T，点R在上且，连接，直接写出当取得最小值时的面积．

3 . 如图，正方形中，点是射线上一点．
   
(1)如图1，点在对角线上，点在边上，．求证：四边形是正方形；
(2)如图2，点在正方形内，点在边上，四边形是正方形，求的大小；
(3)如图3，点是射线上一动点，四边形是以为对角线的正方形，是线段的中点，，请直接写出周长的最小值．

4 . 问题背景：苏科版八年级下册数学教材第95页“探索研究”

（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形的顶点与点O重合．将正方形绕点旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积是正方形面积的__________．
问题迁移：
（2）等边三角形的中线相交于点O，先将绕点O逆时针旋转，再沿线段方向平移，得到，点O、A、B的对应点分别为、、，且，在这个过程中，的边，所在射线分别交AB，BC于点M，N．
①如图2，当与重合时，求证：；
②如图3，当时，判断和之间的数量关系，并说明理由；
问题拓展：
③如图4，连接MN，记周长为，在a、k的变化过程中，存在a、k的值，使得MN平分的周长，此时，的结果是否会发生变化？如不变，请求出其值；如变化，求出的最小值．

5 . （1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．

   

6 . 如图所示，中，且分别为边边上的高，相交于点F， 连接则下列结论中：①垂直平分；②图中有3个等腰三角形；③；④的长度恰与的周长相等；⑤如图，若点P是高上一个动点，点Q是边上一个动点，连接，则的最小值等于的长度，其中正确的是______（只填序号）．

7 . 如图，在正方形中，，点是上的一个定点，且，点是边上一动点，连接，以为边在的上方作正方形，连接，．
   
(1)求证：；
(2)求点在从点运动到点的运动过程中，点的移动距离；
(3)若随着点的运动，直接写出的最小值是______．

8 . 如图，在平行四边形中，是对角线，，点E是边上一点，连接，将绕着点A顺时针旋转得到线段．
   
(1)如图1，若，连接，，，求的面积；
(2)如图2，若，连接交于，求证：；
(3)若在（2）的条件下，，点P为边上一动点，连接，将线段绕着点E顺时针旋转60°得到线段，连接，当线段取得最小值时，直接写出四边形的面积．

9 . 如图，为等边三角形，在过点的射线上取一点，连接．

(1)     如图1，若且，交于点，，求的长；
(2)如图2，若，过点作于点，猜想，，的数量关系，并证明；
(3)如图3，若且，当取最小值时，请直接写出的面积．

10 . 已知同一平面内，和都是等腰三角形，，．．
   
(1)如图1，B、D、C三点在同一条直线上，点E在线段AC上，连接，过D作于点F，于点H，若，．求的长；
(2)如图2，若，连接，取的中点F，连接交于点G，延长与交于点K．若，求证：；
(3)如图3，若，点A与点E重合，．点M为线段中点，点N为线段上一点，连接，将沿翻折到同一平面内的．连接，再将线段绕C点顺时针旋转得到线段，连接，直接写出的最小值．