1 . 如图1，在一个池塘旁有一段笔直小路（B，C为小路两端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：
，
，
米，池塘的平面示意图如图2所示．
求作：
，使得
，交
于点H．（不写作法，只保留作图痕迹）
(2)求的长．
，，米，池塘的平面示意图如图2所示．
求作：
，使得，交于点H．（不写作法，只保留作图痕迹）(2)求
的长．
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2 . 如图，
中，
，
，
，D是线段
上一个动点，以
为边在
外作等边
．若F是
的中点，连接
，则的最小值为______ ．
中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接，则的最小值为
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3 . 综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的
，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．
因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．
已知和
都是等腰直角三角形，且
．绕点A 在平面内自由旋转，连接
后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段的数量关系，并说明理由；
【深入探究】（2）若
，旋转过程中，当点D、点 E 和
的中点O 三点共线时，如图2，探究线段
和
的数量关系，并说明理由．
【应用探究】（3）如图2，在（2）的条件下，若
，则
____ （ 直接写出结果）；
【拓展探究】（4）如图3，当
，
，则
（ 直接写出结果）
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的
，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．
已知
和都是等腰直角三角形，且．
绕点A 在平面内自由旋转，连接后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段的数量关系，并说明理由；【深入探究】（2）若
，旋转过程中，当点D、点 E 和的中点O 三点共线时，如图2，探究线段和的数量关系，并说明理由．【应用探究】（3）如图2，在（2）的条件下，若
，则____ （ 直接写出结果）；【拓展探究】（4）如图3，当
，，则（ 直接写出结果）
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95次组卷
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2卷引用：广东省深圳市福田区外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
4 . 如图，点
，
，
，
在同一条直线上，点
，
分别在直线
的两侧，且
，
，
，
，
，
，当四边形
是菱形时，
________ ．
，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，，，，，当四边形是菱形时，
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5 . 如图，在中，
，点为边上一点，连接，将
沿折叠，使点A落在射线上的点处，若
，
，则
的面积为______ ．
中，，点为边上一点，连接，将沿折叠，使点A落在射线上的点处，若，，则的面积为
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6 . 如图，点E是平行四边形
对角线上一点，点F在
的延长线上，且
，
与
交于点G．
；
(2)连接
，若
，若G恰好是的中点，求证：四边形
是矩形；
(3)在（2）的条件下，若四边形是正方形，且
，求的长．
对角线上一点，点F在的延长线上，且，与交于点G．
；(2)连接
，若，若G恰好是的中点，求证：四边形是矩形；(3)在（2）的条件下，若四边形
是正方形，且，求的长．
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70次组卷
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2卷引用：河南省商丘市柘城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
7 . 在平行四边形中，
，则与之间的距离为（ ）
中，，则与之间的距离为（ ）| A．1 | B． | C． | D．2 |
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51次组卷
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2卷引用：河南省商丘市柘城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
8 . 在正方形
中，对角线
交
于点O，则
的值可以是（ ）
中，对角线交于点O，则的值可以是（ ）A． | B． | C． | D． |
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15次组卷
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2卷引用：河南省商丘市柘城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
名校
9 . 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且
（此时 
），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，
之间的关系，将
绕点A顺时针旋转
后解决了这个问题．，，之间的关系．
(2)如图3，等腰直角三角形
，
，
，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
(3)如图4， 在中， ，
，点， 在边上，且
，当
， 
时， 求
的长．
是正方形，E，F分别在边和上，且（此时 ），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． 
，，之间的关系．(2)如图3，等腰直角三角形
，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．(3)如图4， 在
中， ，，点， 在边上，且，当， 时， 求的长．
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2024八年级下·全国·专题练习
10 . 如图①，已知正方形中，，分别是边，上的点（点，不与端点重合），且
，，
交于点
，过点作
交于点
．与的数量关系为 ，位置关系为 ．
(2)若
，
，试求线段的长．
(3)如图②，连接
并延长交于点
，若点是
的中点，试求
的值．
中，，分别是边，上的点（点，不与端点重合），且，，交于点，过点作交于点．
与的数量关系为 ，位置关系为 ．(2)若
，，试求线段的长．(3)如图②，连接
并延长交于点，若点是的中点，试求的值．
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