1 . 阅读与思考：
我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形.这个平行四边形是四边形的中点四边形，也称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图1证明如下：

   

证明：如图2，连接，分别交，于点，，

   

∵，分别为，中点，
∴．
∵，分别为，中点，
∴________________（填空1）
∴________________（填空2）
∴四边形是瓦里尼翁平行四边形．
任务：
(1)填空1：________________；填空2：________________
(2)矩形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(3)菱形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(4)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．

   

2 . 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（       ）

A．矩形

B．菱形

C．平行四边形

D．正方形

3 . 已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．

(1)四边形的形状是__________，证明你的结论．
(2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．

4 . 顺次连接一个矩形各边中点，所得到的四边形一定是（     ）

A．普通四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

6 . 如图，已知中，为的中点．

(1)请用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点，并连接（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)在（1）的条件下，若的周长为3，求的周长．

7 . 【综合与实践】

【问题背景】几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？

【问题解决】下面是两位同学的转化方法：

方法1：如图1，连接四边形的对角线，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形，易证四边形是平行四边形．

（1）请直接写出和之间的数量关系：______．

方法2：如图2，取四边形四边的中点，，，，连接，，，，可以得出．

（2）求证：四边形是平行四边形；

【实践应用】如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．

（3）请问能否实现这一设想？若能，请你画出你设计的图形；若不能，请说明理由．

（4）已知，在四边形池塘中，对角线与交于点．，，，则求四边形池塘的面积．

8 . 知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你延长交延长线于点，我们易证（自行补充图形）．
数学发现
如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？                          （用字母及符号表示） ．
证明猜想
请结合“实践操作”完成猜想的证明．
已知：
求证：
证明：
   
实际应用
如图，在中，，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点，若，求的长．
   

9 . 如图，在中，，分别是，的中点．

(1)求证：；
(2)连接，当线段与满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．

10 . 如图，四边形中，，，，，．是的中点，则的长为（　　）

A．

B．2

C．

D．3