1 . 如图，已知
是
的直径，
是弦，
垂足为点
，点
是弧
的中点，连接
时，求
的度数；
(2)当
时，求的长．
是的直径，是弦，垂足为点，点是弧的中点，连接
时，求的度数；(2)当
时，求的长．
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2 . 小东在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小东继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段同侧有两点B，D，连接
，如果
，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
【反思归纳】
（1）上述探究过程中的横线上填的内容是________；
【拓展延伸】
（2）如图3，在
中，
，将
绕点A逆时针旋转得
，连接
交
于点D，连接
．小东发现，在旋转过程中，
永远等于
，不会发生改变．
①根据
，利用四点共圆的思想，试证明
；
②当
为直角三角形，且
时，直接写出
的长．
【提出问题】
如图1，在线段
同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．探究展示：
| 如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合）， 连接  ，则 ，又∵ ，∴___________， ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∵点B，D在点A，C，E所确定的 上，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． |
（1）上述探究过程中的横线上填的内容是________；
【拓展延伸】
（2）如图3，在
中，，将绕点A逆时针旋转得，连接交于点D，连接．小东发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．①根据
，利用四点共圆的思想，试证明；②当
为直角三角形，且时，直接写出的长．
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3 . 如图，在的内接四边形
中，是的直径，
，过点
的切线
与直线交于点
，则
的度数为______ °．
的内接四边形中，是的直径，，过点的切线与直线交于点，则的度数为
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4 . 如图，四边形内接于，
为的直径，连接，若
，则
的度数为（ ）
内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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5 . 如图，内接于，
，是的直径，若
，则
的度数为（ ）
内接于，，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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6 . （1）如图①，在四边形中，
，和
是两条对角线，
，过点
作的垂线交的延长线于点．求
的值；
（2）炎热的夏天即将到来，水上乐园成为亲子游玩的好去处．某开发公司将在一片浅水湖建造一个大型的水上乐园，并同时开发三条水上商业步行街．如图②，四边形是项目开发的雏形图，其中，
，是三条步行街的入口．，，
分别是通向水上乐园
的三条步行街（三条街道宽度相同）．根据仪器测量的长约
千米，，
．同时根据设计要求还要满足
．由于招商类型与环境设计的不同，预计段每月平均每千米的租金收入是10万元，段每月平均每千米的租金收入是
万元，段每月平均每千米的租金收入是20万元．问是否存在一点，使得三条步行街每月的租金总收入最大．若存在，求出每月租金总收入的最大值，若不存在，请说明理由．
中，，和是两条对角线，，过点作的垂线交的延长线于点．求的值；（2）炎热的夏天即将到来，水上乐园成为亲子游玩的好去处．某开发公司将在一片浅水湖建造一个大型的水上乐园，并同时开发三条水上商业步行街．如图②，四边形
是项目开发的雏形图，其中，，是三条步行街的入口．，，分别是通向水上乐园的三条步行街（三条街道宽度相同）．根据仪器测量的长约千米，，．同时根据设计要求还要满足．由于招商类型与环境设计的不同，预计段每月平均每千米的租金收入是10万元，段每月平均每千米的租金收入是万元，段每月平均每千米的租金收入是20万元．问是否存在一点，使得三条步行街每月的租金总收入最大．若存在，求出每月租金总收入的最大值，若不存在，请说明理由．
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名校
7 . 如图，是的直径，点C，D，E在上，若
，则
的度数是（ ）
是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2024-05-13更新
|
381次组卷
|
2卷引用：2024年广西桂林中学九年级中考模拟考试数学模拟试题
8 . 如图，
，点是延长线上一点，若
，则
的度数为（ ）
，点是延长线上一点，若，则的度数为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2024-05-13更新
|
60次组卷
|
2卷引用：2024年安徽省阜阳市名校中考数学二模试题
9 . 如图， 在的内接四边形中， 点A是
的中点，连接， 若
，则
_______ 
．
的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则．
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10 . 如图，内接于，平分，交于点，连接
，过点D作
，交延长线于点E．
；
(2)若
，求的长．
内接于，平分，交于点，连接，过点D作，交延长线于点E．
；(2)若
，求的长．
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