1 . 如图，抛物线
经过
、
两点，与y轴交于点C．点P为线段
上的一动点（不与点B重合），连接
，将
沿直线
翻折得到
，
交抛物线于另一点Q，连接
．
(2)当
时，求点Q的坐标．
经过、两点，与y轴交于点C．点P为线段上的一动点（不与点B重合），连接，将沿直线翻折得到，交抛物线于另一点Q，连接．
(2)当
时，求点Q的坐标．
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2 . 小明同学在学习过《对称图形-圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成．
是四边形
中边上一点．
(1)请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点，不写作法，但需保留作图痕迹．．
问题1．如图1，
，
；
问题2．如图2，，
；
问题3．如图3，
，．
(2)在问题3的基础上，若
，
，
，则
．
是四边形中边上一点．(1)请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点
，不写作法，但需保留作图痕迹．．问题1．如图1，
，；问题2．如图2，
，；问题3．如图3，
，．(2)在问题3的基础上，若
，，，则 ．
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3 . 在矩形中，
，
，点
是矩形边
上一点，连接
，将
沿翻折．
，点
刚好落在边
上的点
处，求
长；
(2)如图
，点落在矩形外一点处，连接，若
，求
的面积；
(3)如图
，点落在点处，
的角平分线与
的延长线交于点
，当点从点运动到点
时，求点运动的路径长．
中，，，点是矩形边上一点，连接，将沿翻折．
，点刚好落在边上的点处，求长；(2)如图
，点落在矩形外一点处，连接，若，求的面积；(3)如图
，点落在点处，的角平分线与的延长线交于点，当点从点运动到点时，求点运动的路径长．
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4 . 几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……．
【模型认识】
（1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接
，
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）
与
满足的数量关系为______；
（2）如图②，在
中，
，
，点D在外，
，连接
并延长到点E，
，点N在
上，
交于点M，
，求证：
．
（3）如图③，在中，
，点D在外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交
于点
，且平分的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
【模型认识】
（1）如图①，在四边形
中，点E在边上，连接，．（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）
与满足的数量关系为______；
（2）如图②，在
中，，，点D在外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：．
（3）如图③，在
中，，点D在外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
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5 . 定义：有三个内角相等的四边形叫准矩形．
(1)如图1，中，
，点在
上，点在
的延长线上，
，
与
交于点，则四边形
准矩形(填“是”或“不是”)；
，使顶点，分别落在边
，
上的点
，处，折痕分别为
，
，求证：四边形
是准矩形；中，
且
为锐角，
，当长最大时，求的值．
(1)如图1，
中，，点在上，点在的延长线上，，与交于点，则四边形准矩形(填“是”或“不是”)；
，使顶点，分别落在边，上的点，处，折痕分别为，，求证：四边形是准矩形；
中，且为锐角，，当长最大时，求的值．
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6 . 如图，已知点
在反比例函数
的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数
的图象交于点B、C，若
，则
____ ．
在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点B、C，若，则
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7 . 如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接
交于点E，过点E作
于点F，、的延长线交于点G，若
，则
的长为______ ．
中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为
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2024九年级下·江苏·专题练习
8 . 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形中，为锐角，为中点，连接
，将菱形沿折叠，得到四边形
，点的对应点为点
，点
的对应点为点
．
与
的位置关系是___________；
(2)【思考表达】连接
，判断
与
是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长
交
于点
，连接
，请探究
的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当
时，连接，延长交于点，连接，请写出、、
之间的数量关系，并说明理由．
中，为锐角，为中点，连接，将菱形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点．
与的位置关系是___________；(2)【思考表达】连接
，判断与是否相等，并说明理由；(3)如图（2），延长
交于点，连接，请探究的度数，并说明理由；(4)【综合运用】如图（3），当
时，连接，延长交于点，连接，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
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9 . 【实践探究】
（1）如图1，矩形中，
交于点E，则
的值是______；
【变式探究】
（2）如图2，
中，
为边上一点，连接
，交于点E，若
，求的长；
【灵活应用】
（3）如图3，在矩形中，
，点E，F分别在
上，以为折痕，将四边形
翻折，使得的对应边
恰好经过点A，过点A作
交于点N，若
，设
的面积为
的面积为
的面积为
，若
，则
的值为_______．
（1）如图1，矩形
中，交于点E，则的值是______；【变式探究】
（2）如图2，
中，为边上一点，连接，交于点E，若，求的长；【灵活应用】
（3）如图3，在矩形
中，，点E，F分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作交于点N，若，设的面积为的面积为的面积为，若，则的值为_______．
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10 . 如图，在平面直角坐标系中，一次函数
的图像分别与x轴、y轴交于点A，点B，与反比例函数
的图像交于点C，连接
，已知点
．
(2)求
的面积．
的图像分别与x轴、y轴交于点A，点B，与反比例函数的图像交于点C，连接，已知点．
(2)求
的面积．
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