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解题方法
1 . 已知函数
，
，其中
为自然对数的底数.
(1)证明：
时，
；
(2)求函数
在
内的零点个数；
(3)若
，求
的取值范围.
，，其中为自然对数的底数.(1)证明：
时，；(2)求函数
在内的零点个数；(3)若
，求的取值范围.
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2 . 已知函数
.
(1)若过点
可作曲线
两条切线，求的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求的取值范围；
②当
时，证明：
.
.(1)若过点
可作曲线两条切线，求的取值范围；(2)若
有两个不同极值点.①求
的取值范围；②当
时，证明：.
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3 . 贝塞尔曲线（Be'zier curve）是一种广泛应用于计算机图形学、动画制作、CAD设计以及相关领域的数学曲线．它最早来源于Bernstein多项式．引入多项式
，若
是定义在
上的函数，称
，
为函数的n次Bernstein多项式．
(1)求
在
上取得最大值时x的值；
(2)当
时，先化简
，再求
的值；
(3)设
，
在内单调递增，求证：
在内也单调递增．
，若是定义在上的函数，称，为函数的n次Bernstein多项式．(1)求
在上取得最大值时x的值；(2)当
时，先化简，再求的值；(3)设
，在内单调递增，求证：在内也单调递增．
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解题方法
4 . 设函数
在区间
上的导函数为
，且在上存在导函数
（其中
）.定义：若在区间上
恒成立，则称函数在区间上为凸函数.已知
，
（
）.
(1)判断函数在区间
上是否为凸函数，说明理由；
(2)已知函数
为
上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数
图象上任意一点的切线总在的图象的上方；
(3)若
，求函数
（
）的最小值.
在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）.定义：若在区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数.已知，（）.(1)判断函数
在区间上是否为凸函数，说明理由；(2)已知函数
为上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方；(3)若
，求函数（）的最小值.
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解题方法
5 . 已知函数
(1)若
恒成立，求的值；
(2)求证：
．
(1)若
恒成立，求的值；(2)求证：
．
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解题方法
6 . 已知函数
(1)若函数在
内点
处的切线斜率为
，求点的坐标；
(2)①当
时，求
在
上的最小值；
②证明：
．
(1)若函数在
内点处的切线斜率为，求点的坐标；(2)①当
时，求在上的最小值；②证明：
．
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7 . 已知函数
，且
在
上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数
在区间上的导函数为
，若
对任意实数
恒成立，则称函数在区间上具有性质
.
（i）求证：函数在
上具有性质；
（ii）记
，其中
，求证：
.
，且在上的最小值为0.(1)求实数
的取值范围；(2)设函数
在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.（i）求证：函数
在上具有性质；（ii）记
，其中，求证：.
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解题方法
8 . （1）证明：当
时，
；
（2）已知正项数列
满足
.
（i）证明：数列
为递增数列；
（ii）证明：若
，则对任意正整数
，都有
.
时，；（2）已知正项数列
满足.（i）证明：数列
为递增数列；（ii）证明：若
，则对任意正整数，都有.
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解题方法
9 . 已知函数
.
(1)若的极小值为-4，求的值；
(2)若
有两个不同的极值点，证明：
.
.(1)若
的极小值为-4，求的值；(2)若
有两个不同的极值点，证明：.
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解题方法
10 . 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 
，其中
为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地双曲正弦函数 
，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式
；
②平方关系
；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当时，双曲正弦函数
图象总在直线
的上方，求实数
的取值范围；
(3)若
，证明：
，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式
；②平方关系
；③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当
时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；(3)若
，证明：
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