1 . 定义数列：，．
(1)证明：对任意的，；
(2)设数列的前n项和为，证明：．

2 . 已知数列满足，．
(1)若数列为单调递减数列，求实数a的取值范围．
(2)当时，设数列前n项的和为，证明：当时，．

4 . 已知满足递推条件：，且，，求的通项公式.

5 . 设数列满足，证明：存在且等于

6 . 设数列，即当时，．记．
(1)写出，，，；
(2)令，求数列的通项公式；
(3)对于，定义集合，求集合中元素的个数．

7 . 已知是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．
(1)若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
(2)设d是非负整数．证明：（）的充分必要条件为是公差为d的等差数列；
(3)证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．

8 . 给定项数为的数列，其中.若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，例如数列.因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.
(1)分别判断下列数列
①.
②.
是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
(2)若项数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；
(3)假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值.

9 . 在无穷数列中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为．
(1)设数列为，写出，，，的值；
(2)若为等差数列，求出所有可能的数列；
(3)设，，求的值．（用p，q，A表示）

10 . 已知数列满足，其前8项的和为64；数列是公比大于0的等比数列，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，，求数列的前项和；
(3)记，求．