1 . 若实数列满足条件，、、，则称是一个“凸数列”.
（1）判断数列和是否为“凸数列”?
（2）若是一个“凸数列”，证明：对正整数、、，当时，有；
（3）若是一个“凸数列”，证明：对，有.

2 . 已知数列满足，且.
（1）使用数学归纳法证明：；
（2）证明：；
（3）设数列的前n项和为，证明：.

3 . 已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：
①对任意的，；
② ．

4 . 已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁＝1，b₁＝0，4a_n+1＝3a_n﹣b_n+4，4b_n+1＝3b_n﹣a_n﹣4．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）我们知道，对的放缩，如；；．若记{a_n}的前n项和为S_n，试证： ．

5 . 已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的，都有，数列各项都是正整数，，，且数列，，，…，是等比数列.
（1）求，；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）求满足的最小正整数n．

6 . 我们称满足：（）的数列为“级梦数列”.
（1）若是“1级梦数列”且，求和的值；
（2）若是“1级梦数列”且满足，，求的最小值；
（3）若是“0级梦数列”且，设数列的前项和为，证明：（）.

7 . 已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n(n∈N*)，且a₃＝a₂+2，a₂•a₄＝16.数列{b_n}的前n项和为T_n，且，.
（1）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（2）证明数列{b_n}为等差数列，并求出{b_n}的通项公式；
（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c_m，c_n，c_l成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由.

8 . 已知n∈N^*，数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝a_n+1﹣a₁；数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足T_n+b_n＝n+，且a₁＝b₂.
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n＝，问：数列{c_n}中是否存在不同两项c_i，c_j（1≤i＜j，i，j∈N^*），使c_i+c_j仍是数列{c_n}中的项？若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由.

9 . 已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n＝，正项数列{b_n}满足b₁＝1，b_n+1²﹣1＝4b_n（b_n+1）（n∈N^*）.
（1）分别求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式.
（2）若数列{c_n}满足c_n﹣3ⁿ＝（﹣1）^n﹣1•λ（b_n+1）（λ为非零常数），是否存在整数λ，使得对任意（n∈N^*），都有c_n+1＞c_n，若存在，求出整数λ的值，若不存在，请说明理由.
（3）在数列{b_n}的任意相邻两项b_k与b_k+1之间插入k个（﹣1）^ka_k后，得到一个新数列{d_n}，求数列{d_n}的前2019项的和.

10 . 给定数列，对，该数列前i项的最大值记为，后项的最小值记为，．
（1）设，求；
（2）设是公比大于1的等比数列，且时，证明：成等比数列；
（3）设是公差大于0的等差数列，且，证明：成等差数列．