1 . 定义：若数列满足对于任意，，，则称数列为“自然递增数列”，已知无穷数列是“自然递增数列”且首项，设，记使得成立的的最大值为.
(1)若数列为公比为2的等比数列，写出、、的值；
(2)若数列为等差数列，判断数列是否为等差数列，若是，求出所有可能的数列，若不是，说明理由；
(3)设，，求的值.（用p、q、A表示）

2 . 如果一个数列从第项起，每一项与它得前一项得差都大于，则称这个数列为“”数列.
（1）若数列为“数列”，且，，，求实数的取值范围；
（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“数列”，，，当数列不是“数列”时，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.

3 . 若定义在上的函数满足：对于任意实数，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数.
（1）已知为“类余弦型”，且，求和的值；
（2）在（1）的条件下，定义数列（），求的值；
（3）若为“类余弦型”，且对任意非零实数，总有，证明：
①函数为偶函数；
②设有理数满足，判断和的大小关系，并证明.

4 . 设数列{a_n}和{b_n}的项数均为m，则将数列{a_n}和{b_n}的距离定义为.
（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）设A为满足递推关系a_n+1=的所有数列{a_n}的集合，{b_n}和{c_n}为A中的两个元素，且项数均为m，若b₁=2，c₁=3，{b_n}和{c_n}的距离小于2016，求m的最大值；
（3）记S是所有7项数列{a_n|1≤n≤7，a_n=0或1}的集合，TS，且T中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16.

5 . 在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，，，均在抛物线上，线段与轴的交点为．将，，， ，的面积分别记为，，，，．已知上述三角形均为等腰直角三角形，且它们的顶角分别为，，，，．

（1）求和的值；
（2）证明：．

6 . 如图所示，，，…，，…是曲线（）上的点，，，…，，…是x轴正半轴上的点，且，，…，，…均为等腰直角三角形（为坐标原点）.

（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.

10 . 已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性，并证明：；
（2）若函数与的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围.