1 . 对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”
（1）若求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．

2 . 已知数列的首项，为前项和，若数列满足：对任意正整数，，当时，总成立，则称数列是“数列”.
（1）若是公比为3的等比数列，试判断是否为“数列”，说明理由；
（2）若是公差为的等差数列，且是“数列”，求实数的值；
（3）若数列既是“数列”，又是“数列”，求数列的通项公式.

3 . 在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，
（ⅰ）证明是等差数列；
（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？

4 . 设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

5 . 对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“折叠数列”.
（1）若，，判断数列，是否是“折叠数列”，如果是，指出的值；如果不是，请说明理由；
（2）若，求所有的实数，使得数列是折叠数列；
（3）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值，证明你的结论.

6 . 对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n＝a_n+1﹣a_n（n∈N^*），规定{△²a_n}为{a_n}的二阶差分数列，其中△²a_n＝△a_n+1﹣△a_n（n∈N^*）.
（1）数列{a_n}的通项公式（n∈N^*），试判断{△a_n}，{△²a_n}是否为等差数列，请说明理由？
（2）数列{b_n}是公比为q的正项等比数列，且q≥2，对于任意的n∈N^*，都存在m∈N^*，使得△²b_n＝b_m，求q所有可能的取值构成的集合；
（3）各项均为正数的数列{c_n}的前n项和为S_n，且△²c_n＝0，对满足m+n＝2k，m≠n的任意正整数m、n、k，都有c_m≠c_n，且不等式S_m+S_n＞tS_k恒成立，求实数t的最大值.

7 . 数列满足且.
（1）证明：；
（2）证明：.

8 . 已知数列的前n项和为，，若是公差不为0的等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）记，若存在，（），使得成立，求实数的取值范围．

9 . 有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.
（1）判断数列和是否具有性质，请说明理由.
（2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.
（3）若是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的.

10 . 已知数列的前项积为，为等差数列，且.
（1）求；
（2）证明：.