1 . 对于函数
，若
，则称为数列
的“本源函数”
（1）设数列的“本源函数”为
，且
，
，求实数m的值；
（2）已知数列的“本源函数”为
，，
，在数列
中删除数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列
，求
；
（3）记
表示不超过实数u的最大整数.若数列的“本源函数”为
，且，
，
为数列的前n项的和.证明：对满足
的任意实数a，b，数列
中有无穷多项属于开区间
.
，若，则称为数列的“本源函数”（1）设数列
的“本源函数”为，且，，求实数m的值；（2）已知数列
的“本源函数”为，，，在数列中删除数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列，求；（3）记
表示不超过实数u的最大整数.若数列的“本源函数”为，且，，为数列的前n项的和.证明：对满足的任意实数a，b，数列中有无穷多项属于开区间.
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2 . 设数列的前
项和为，对一切
，点
都在函数
的图像上．
（1）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
、
、
、
、
、
、
、
、
、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求
的值；
（2）设
为数列
的前项积，若不等式
对一切都成立，求
的取值范围．
的前项和为，对一切，点都在函数的图像上．（1）将数列
依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；（2）设
为数列的前项积，若不等式对一切都成立，求的取值范围．
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名校
3 . 已知函数
.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）设
.
（i）证明：是递减数列；
（ii）已知集合
，求A.
.（1）讨论f(x)的单调性；
（2）设
.（i）证明：
是递减数列；（ii）已知集合
，求A.
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4 . 已知
，有穷数列满足
，将所有项之和为的可能的不同数列的个数记为.
（1）求
，
；
（2）已知，
，若
时，总有
，求出一组实数对；
（3）求关于的表达式.
，有穷数列满足，将所有项之和为的可能的不同数列的个数记为.（1）求
，；（2）已知
，，若时，总有，求出一组实数对；（3）求
关于的表达式.
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5 . 对任意正整数
，，定义函数
如下：
①
；
②
；
③
．
（1）求
的解析式；
（2）设
是自然对数的底数，，
，比较
与
的大小．
，，定义函数如下：①
；②
；③
．（1）求
的解析式；（2）设
是自然对数的底数，，，比较与的大小．
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6 . 对于无穷数列、，，若
，
，则称数列是数列的“收缩数列”，其中
、
分别表示
中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”．
（Ⅰ）写出数列
的“收缩数列”；
（Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（Ⅲ）若
，求所有满足该条件的数列．
、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”．（Ⅰ）写出数列
的“收缩数列”；（Ⅱ）证明：数列
的“收缩数列”仍是；（Ⅲ）若
，求所有满足该条件的数列．
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2021-05-29更新
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790次组卷
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2卷引用：北京市第八十中学2021届高三考前练习数学试题
7 . 若数列满足“对任意正整数
，
，
，都存在正整数
，使得
”，则称数列具有“性质
”.
（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；
（2）若公比为
的无穷等比数列具有“性质”，求首项
的值；
（3）若首项
的无穷等差数列具有“性质”，求公差
的值.
满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.（1）判断各项均等于
的常数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若公比为
的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；（3）若首项
的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.
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2021-05-10更新
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583次组卷
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2卷引用：上海市虹口区2021届高三二模数学试题
8 . 已知各项均为整数的数列
.满足
，且对任意
，都有
.记
.
（1）若
，写出一个符合要求的
；
（2）证明：数列
中存在
使得
；
（3）若
是
的整数倍，证明：数列中存在
使得
.
.满足，且对任意，都有.记.（1）若
，写出一个符合要求的；（2）证明：数列
中存在使得；（3）若
是的整数倍，证明：数列中存在使得.
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2021-05-07更新
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1136次组卷
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7卷引用：北京市朝阳区2021届高三下学期二模数学试题
解题方法
9 . 定义：符号
表示实数
、
、
中最大的一个数；
表示、、中最小的一个数. 如，
，
.设
是一个给定的正整数
，数列共有项，记
，
.由
的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若
，则
.理由：，则
.又
，
，于是，有.试解答下列问题：
（1）若数列的通项公式为
，求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足，
，求通项公式
；
（3）试构造项数为的数列，满足
，其中是等比数列，是公差不为零的等差数列，且数列
是单调递减数列，并说明理由.（答案不唯一）
表示实数、、中最大的一个数；表示、、中最小的一个数. 如，，.设是一个给定的正整数，数列共有项，记， .由的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若，则.理由：，则.又，，于是，有.试解答下列问题：（1）若数列
的通项公式为，求数列的通项公式；（2）若数列
满足，，求通项公式；（3）试构造项数为
的数列，满足，其中是等比数列，是公差不为零的等差数列，且数列是单调递减数列，并说明理由.（答案不唯一）
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10 . 已知无穷数列{an}，对于m∈N*，若{an}同时满足以下三个条件，则称数列{an}具有性质P(m)．
条件①：an＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得an≤T（n＝1，2，…）；
条件③：an＋an+1＝man＋2（n＝1，2，…）．
（1）若an＝5＋4
（n＝1，2，…），且数列{an}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；
（2）是否存在具有性质P（1）的数列{an}？若存在，求数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）设数列{an}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{an}的通项公式．
条件①：an＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得an≤T（n＝1，2，…）；
条件③：an＋an+1＝man＋2（n＝1，2，…）．
（1）若an＝5＋4
（n＝1，2，…），且数列{an}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；（2）是否存在具有性质P（1）的数列{an}？若存在，求数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）设数列{an}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{an}的通项公式．
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2021-05-02更新
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1139次组卷
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5卷引用：北京市海淀区2021届高三下学期期中数学试题
