1 . 已知一个球在一个体积为的正三棱柱的内部，且与三棱柱的各面均相切，求正三棱柱的表面积与球的表面积．

2 . 如图，在三棱锥中，，点在线段上，且．

   

(1)求证：平面平面；
(2)若，且三棱锥的体积为，求的长．

3 . 已知某圆锥的母线长与底面直径相等，表面积为.
(1)求此圆锥的体积；
(2)若此圆锥内有一圆柱，该圆柱的下底面在圆锥的底面上，求该圆柱侧面积的最大值.

4 . 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：

(1)正四棱锥的表面积；
(2)若为的中点，求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

5 . 如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．

(1)求此旋转体的体积．
(2)求此旋转体的表面积．

6 . 如图，直三棱柱中，，点在线段上，且点为的重心，．
   
(1)证明：；
(2)若，求三棱锥的体积．

8 . 如图，四棱锥为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且．

(1)若点F在棱PC上，是否存在实数满足，使得平面PDE？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．
(2)在第（1）问的条件下，当平面PDE时，求三棱锥的体积．

9 . 已知正方体的棱长为2，且，，，，，为该正方体的六个面的中心．

(1)求八面体的体积；
(2)求直线与平面所成角的正切值．

10 . 已知四棱锥的底面是正方形，给出下列三个论断：①；②；③平面．

(1)以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，求四棱锥体积的最大值．