1 . 已知等差数列的前n项和满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前n项和为．证明：．

2 . 已知为等差数列，为等比数列且公比大于0，，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求.

3 . 在数列中，，对任意，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若数列满足：．
①求数列的通项公式；
②令，若，求正整数的值．

4 . 已知数列，，满足，.
（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，证明：.

5 . 已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且.
（1）若，比较与的大小关系；
（2）若.
①判断是否为数列中的某一项，并请说明理由；
②若是数列中的某一项，写出正整数m的集合（不必说明理由）.

6 . 已知数列是无穷数列，若存在常数，使得对任意的成立，则称数列其有性质．
（1）若数列满足：，其中，是数列的前项和，试判断是否具有性质．
（2）若数列是等差数列，且数列具有性质，求数列的通项公式；
（3）若正整数数列满足，且，若数列具有性质，求数列的通项公式．

7 . 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，且S₃＝3S₂+1.
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}为递增数列，数列{b_n}满足，求数列b_n的前n项和T_n；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.

8 . 数列中，，且对于任意的，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，是否存在实数使得对于任意，都有（为常数）成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

9 . 已知函数，，，数列，满足，，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前n项和.

10 . 已知是公比的等比数列，且满足，，数列满足：.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求证：.