1 . 已知函数满足，当时，，且.
(1)求的值；
(2)判断的单调性并证明；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

2 . 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）．

3 . 已知函数．
(1)求的定义域；
(2)讨论的奇偶性；
(3)证明：．

4 . 求证：
(1)；
(2).

5 . 已知方程有一根为，求证：方程必有一根，使得.

6 . 已知函数为奇函数．
(1)判断函数的单调性，并加以证明．
(2)若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．

7 . 已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并用定义证明函数在上的单调性；
(2)设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；
(3)设函数，若对，都有，求实数的取值范围．

8 . 设函数，且.
(1)请说明的奇偶性；
(2)用定义证明在上单调递增.

9 . 设（为实常数），与的图像关于原点对称.
(1)当，若关于的方程有两个不等实根，求的范围；
(2)当，求方程的实数根的个数，并加以证明.

10 . 已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式：．