1 . 已知定义在上的奇函数，且对定义域内的任意x都有，当时，．
(1)用单调性的定义证明在上单调递减；
(2)若，对任意的，存在，使得成立，求a的取值范围．

2 . 已知函数在上为奇函数，，.
(1)求实数的值并指出函数的单调性（单调性不需要证明）；
(2)设存在，使成立，求出所在的集合；
(3)请问是否存在的值，使最小值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

3 . 已知是定义在上的奇函数，其中、，且.
(1)求、的值；
(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.

4 . 已知函数．
(1)用定义法证明在上单调递增；
(2)求不等式的解集；
(3)若，对使不等式成立，求实数的取值范围．

5 . 已知定义在上的增函数，函数，．
(1)用定义证明函数是增函数，并判断其奇偶性；
(2)若，不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，函数有两个不同的零点，且，求实数a的取值范围．

6 . 已知函数
(1)化简的表达式.
(2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域.
(3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.

7 . 设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域D上存在不动点.已知函数.
(1)若函数在区间上存在不动点，求实数a的取值范围；
(2)设函数，若，都有成立，求实数a的取值范围.

8 . 已知定义在上的奇函数满足：
①；
②对任意的均有；
③对任意的，，均有.
(1)求的值；
(2)证明在上单调递增；
(3)是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

9 . 已知函数，.
(1)若在区间上是单调函数，则的取值范围；
(2)在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.

10 . 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．