1 . 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元．
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

2 . 解关于的不等式：.

3 . 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）求在区间上的最小值.

4 . 已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，.对于函数，若存在且，使得，则称函数是“和谐”函数.
（1）判断函数，是否是“和谐”函数；（只需写出结论）
（2）设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为，若不是“和谐”函数，求的最小值.
（3）若函数是“和谐”函数，求的取值范围.

5 . 设集合 ，如果存在的子集，，同时满足如下三个条件：
①；
②，，两两交集为空集；
③，则称集合具有性质.
（Ⅰ） 已知集合，请判断集合是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）设集合，求证：具有性质的集合有无穷多个.

6 . 已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在上单调递增，求的最大值．

7 . 设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，为的下标.如果数组中的每个“元”都来自数组中不同下标的“元”则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.
（1）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值及此时的数组；
（2）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.

8 . 已知（且）在区间上的最大值与最小值之和为，，其中.
（1）直接写出的解析式和单调性；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，若，使得对，都有，求实数的取值范围.

9 . 已知集合为函数的定义域，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的值；
（3）设集合（为自然数集），若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合.

10 . 已知函数.
（1）写出的定义域，并证明是奇函数；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明.