1 . 已知函数，函数．
(1)判断函数在其定义域上的单调性（不需要证明）；
(2)对任意的实数，都有．
①求证：；
②若存在a的两个取值，，使得（c为常数），求的值．

2 . 已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，设，
（ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，求证：．

3 . （1）已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数．
（2）若函数的定义域为（），证明：是偶函数，是奇函数．

4 . 设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；
②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.
(可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.)

5 . 利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：

6 . 设，函数为常数，．
（1）若，求证：函数为奇函数；
（2）若．
①判断并证明函数的单调性；
②若存在，，使得成立，求实数的取值范围．

7 . 已知定义在上的函数满足以下三个条件：
①对任意实数，都有；
②；
③在区间上为增函数．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）求证：；
（3）解不等式．

8 . 设，函数．
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数恰有两个零点，求证：．

10 . 求证：．