1 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.

2 . 在中，．
(1)求A；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定
条件①：；
条件②：；
条件③：．

3 . 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升,上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，从下部算起第5节容量是______升（结果保留分数）

4 . 设数列的前n项和为，若对任意的正整数，总存在正整数．使得，下列正确命题的个数是（     ）
①可能为等差数列；
②可能为等比数列；
③均能写成的两项之差；
④对任意，总存在，使得．

A．0

B．1

C．2

D．3

5 . 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.

6 . 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.

7 . 下面四个条件中：
①已知数列中，，；
②已知数列的前项和；
③已知数列满足，；
④已知数列的前项和.
所有能推出的条件的序号为______.

8 . 在数列中，已知，．
(1)若数列是等差数列，求数列的通项公式及前项和；
(2)若数列是等比数列，求数列的通项公式及前项和；
(3)若数列的前项和，求数列的通项公式．

9 . 已知中，，，，则__________，__________.

10 . 设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
条件①：；
条件②：，恒成立.
(1)求不等式的解集；
(2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.