1 . 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点，离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E交于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程.

2 . 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，椭圆上的点到点的距离之和等于4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

3 . 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

4 . 已知椭圆：，点在曲线上，短轴下顶点为，且短轴长为2.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作直线与椭圆的另一交点为，且与所成的夹角为，求的面积.

5 . 已知椭圆的离心率，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆与轴正半轴的交点，斜率不为的直线与椭圆交于不同的两点，，若，问直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

6 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明.

7 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，且直线与椭圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于点及，求四边形的面积的最大值与最小值．

8 . 已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）若函数的单调区间；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.

9 . 已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数a的值及函数的单调区间；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，，且，求证：．

10 . 设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作的平行线交于点E.
（1）证明：为定值，并求出点E的轨迹方程；
（2）若M，N是点E的轨迹上的动点，且直线过点，问在y轴上是否存在定点Q，使得？O为坐标原点，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.