1 . 设函数.
（1）若存在最大值，且，求实数的取值范围；
（2）令，，求证：对任意的，总存在最小值，且.

2 . 如图，已知椭圆上顶点为A，右焦点为F，直线与圆相切，其中.

（1）求椭圆的方程；
（2）不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标.

3 . 已知椭圆：的离心率，点，点、分别为椭圆的上顶点和左焦点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过定点的直线与椭圆交于，两点（在，之间）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆：的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线，被椭圆截得的弦长；
（3）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

5 . 已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.

（1）证明：为定值；
（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.

6 . 已知定点，动点与、两点连线的斜率之积为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点是轨迹上的动点，点在直线上，且满足（其中为坐标原点），求面积的最小值.

7 . 已知方程表示焦点在轴上的双曲线.
（1）求的取值范围;
（2）若该双曲线与椭圆有共同的焦点,求该双曲线的渐近线方程.

8 . 从抛物线上任意一点向轴作垂线段垂足为，点是线段上的一点，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线与轨迹交于两点，点为轨迹上异于的任意一点，直线分别与直线交于两点.问：轴正半轴上是否存在定点使得以为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆经过点，右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN恒过定点．

10 . 已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x²－ax.
（1）求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；
（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x₁，h(x₁))，B(x₂，h(x₂))(x₁≠x₂)是函数h(x)图像上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；
（3）若∃x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值．