1 . 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.

2 . 已知抛物线：的焦点是椭圆的一个焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且.求证：直线过定点.

3 . 已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）证明当时，关于x的不等式恒成立；

4 . 已知函数，.
（1）当时，证明：有且仅有两个零点，，且存在，使，；
（2）若函数有唯一零点，求正数的值.

5 . 已知圆与圆相外切，且与直线相切．
（1）记圆心的轨迹为曲线，求的方程；
（2）过点的两条直线与曲线分别相交于点和，线段和的中点分别为.如果直线与的斜率之积等于1，求证：直线经过定点．

6 . 已知函数（其中为自然对数的底数，）.
（1）试讨论函数零点的个数；
（2）当时，令，求证：不等式对恒成立.

7 . 已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.

（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.

8 . 已知函数，，为函数的导函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明对任意的都成立.

9 . 已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若存在两个极值点，，证明．

10 . 已知椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线，与直线分别交于点，，求证：以线段为直径的圆过定点.